MÉTODO DE CRAMER

La regla de kramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).
Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes
Entonces la solución al sistema se presenta así:



donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b.
Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes.
Resolvamos el sistema :



Las fórmulas son :



Recordemos que la fórmula de los determinantes (3x3) es :



Como se puede observar, para que podamos utilizar el método de Cramer , el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule . Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras, es decir, tendríamos parámetros. La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que tomemos como parámetro y de esta forma tendremos un determinante que no se anula pero de menor grado. Al aplicar las fórmulas de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

En la matemática, la eliminación Gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada"
El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

Ejemplo: Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema:



Solución. Comenzamos con la matriz aumentada:



Procedemos a hacer el primer pivoteo, y para ello, intercambiamos los renglones 1 y 2:



y haciendo ceros debajo del pivote, obtenemos:

MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss resuelve un sistema de ecuaciones lineales de forma simultánea. El método consiste de dos fases. La primera fase se le conoce como “eliminación hacia adelante”, debido a que realiza una eliminación de coeficientes comenzando de arriba hacia abajo, hasta dejar una matriz de coeficientes del tipo triangular superior. La segunda se le conoce como “sustitución hacia atrás”, por que se parte de la última ecuación del sistema, para despejar la incógnita, la cual, ya se puede resolver debido a que en esa última ecuación únicamente se desconoce una incógnita, por el hecho de tener un sistema de ecuaciones de tipo matriz triangular superior.



La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .



Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación



De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
- y + 9•2 = 13 Þ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3•5 – 7•2 = -1 Þ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)
Clasificación de los sistemas:
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos:
1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones
3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA USANDO DETERMINANTES

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Ejemplo

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:



Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

DETERMINANTE

Antes de definir el determinante de una matriz , tenemos que definir otros conceptos.
Menor de un elemento:
Sea una matriz cuadrada mxm. Llamaremos menor del elemento (fila i, columna j) de A, y lo denotaremos con , al determinante de la submatriz resultante de eliminar la fila y la columna donde se encuentra el elemento, fila i y columna j.
Por ejemplo :

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La matriz transpuesta se obtiene al intercambiar los elementos por medio de su posición dentro de la matriz. Así, el elemento cuya posición es [2,1] será [1,2], la [3,2] será la [2,3] y así sucesivamente.
Por ejemplo, el transponer la siguiente matriz:



dará como resultado la siguiente:



El resultado de transponer una matriz de orden m x n, dará como resultado una de orden n x m.

Ti,j=Aj,i

Ai,j representa a los elementos de la matriz A. Los subíndices i y j representan la posición (fila por columna) del elemento de la matriz original que se transpone. T representa a la matriz resultado de la operación.
De manera sistemática, el siguiente algoritmo muestra cómo se obtiene la transpuesta de una matriz:

1) Desde el contador de filas igual a 1 hasta el número máximo de filas de la matriz transpuesta;
2) Desde el contador de columnas igual a 1 hasta el número máximo de columnas de la matriz transpuesta.
3) Asignar el elemento de la matriz origen al elemento de la matriz transpuesta, intercambiando los índices de posición fila x columna a columna x fila.

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:



para cada par i y j.

Por ejemplo:



El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa aplicable a las matrices cuadradas.

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.